数据结构-跳表

跳表概念

1. 二分查找法依赖于数组的随机访问特性，只能用数组实现

   跳表是基于链表实现类似于二分查找的算法

2. 查找、插入、删除各方面性能都不错的动态数据结构，甚至可以替代红黑树

3. Redis 中的有序集合（Sorted Set）就是用跳表来实现的

跳表结构

1. 对于一个有序的单链表，想在其中查找某个数据，只能从头到尾遍历链表。效率很低
2. 对链表建立一级索引，每两个结点提取一个结点到上一级，抽出来的一级称为索引层
3. 索引层结点有指针指向下一级结点
4. 在查找结点时，先在索引层遍历，再下降到原始链表，就能减少遍历次数
5. 当链表很长，使用多级索引结构可以大大提高查找效率

跳表性能

跳表的高度

1. 第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 $\frac{1}{2}$，那么第 k 级索引 结点的个数就是 $\frac{n}{2^k}$
2. 假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，可以得到求得 $h=log_2n-1$
3. 如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 $log_2n$

查找时间复杂度

2. 上级索引通过指针下降到下级索引

3. 当每级索引都是两个结点抽出一个结点作为上一级索引的结点时，每一层最多遍历3个结点

   时间复杂度为 $O(2*logn)$，即 $O(logn)$

4. 如果每一层最多要遍历 m 个结点，那么时间复杂度为 $O(m*logn)$

插入时间复杂度

1. 在单链表中，如果知道要插入的位置，插入结点的时间复杂度是 $O(1)$

   为了保证原始链表中数据的有序性，需要先找到要插入的位置，这个查找操作比较耗时

2. 查找某个结点的的时间复杂度是 $O(logn)$，查找某个数据应该插入的位置，时间复杂度也是 $O(logn)$

删除时间复杂度

1. 如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的结点
2. 删除一个结点要找到其前驱结点，如果是双向链表则可以通过指针获得
3. 时间复杂度为 $O(logn)$

内存消耗

1. 比起单链表，跳表需要存储多级索引，要消耗更多的存储空间

2. 如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，需要额外再用接近 n 个结点的存储空间

3. 每隔三个结点抽出一个结点比每隔两个会节省索引存储空间，但性能会下降

4. 在实际的软件开发中，原始链表中存储的可能是很大的对象

   而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象

   所以当对象比索引结点大很多时，索引占用的额外空间可以忽略

索引动态更新

1. 跳表中插入数据，如果不更新索引，某 2 个索引结点之间数据过多，性能退化

2. 跳表是通过随机函数来维护索引与原始链表大小之间的平衡

3. 通过随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中

比如随机函数生成了值 K，就将这个结点添加到第一级到第 K 级索引中

随机函数的选取很重要，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，避免性能过度退化